U_n+1 = U_n + U_n-1

Les premiers termes sont 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 …
Ces nombres sont appelés nombres de Fibonacci.

C'est en réalité un cas particulier des séries additives (du type U_n+1 = U_n + U_n-1) , dont un autre exemple est la suite de Lucas, définie par U₀=1 et U₁=3 :

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29 …

Premier aspect intéressant de la suite : U_n+1 /U_n converge vers (1+√5)/2, c'est-à-dire le fameux nombre d'or que l'on note Φ (phi) !

A-
Voici comment R. Simson s'en est rendu compte :

Posons V_n = U_n+1 / U_n

On sait que U_n+2 = U_n+1 + U_n

Soit, en divisant chaque membre par U_n+1 :
V_n+1 = 1 + 1/V_n

Relation dont il est facile de déduire :
V₁ = 1
V₂ = 1 +1
V₃ = 1 + 1/(1 + 1)
V₄ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1)
V₅ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1)

D'autre part, nous avons la relation

Φ = 1 + 1/Φ
d'où on obtient successivement :
Φ = 1 + 1/(1 + 1/Φ)
Φ = 1 + 1/(1 + 1/(1+ 1/Φ)
…

Ce sont ces remarques qui permirent à Simson de prouver que la suite (V_n) converge vers Φ.

B-
D'autres méthodes sont bien entendu envisageables ;
Par exemple les relations V_n = U_n+1 / U_n et V_n+1 = 1 + 1/V_n permettent d'emblée d'affirmer que la limite a de la suite (V_n), si elle existe, est solution de l'équation :

a = 1 + 1/a
ou encore a² - a - 1 = 0
dont les deux solutions sont effectivement Φ = (1+√5)/2 et Φ'=-1/Φ = (1-√5)/2

l'équation nous fournit alors les relations
Φ² = 1 + Φ
et
Φ' = 1 + Φ'

On pourra alors montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n,
U_n = (Φⁿ-Φ'ⁿ)/√5
Ce qui permet ensuite de parvenir au résultat sans trop d'efforts. (pour n assez grand, le second terme est négligeable...)

C-
Une vieille illusion géométrique peut illustrer la relation entre Φ et la suite de Fibonacci :

Surface = 13² = 169	Surface = 8*21 = 168

Dans cet exemple, le carré est plus grand d'une unité que le rectangle. Mais si, au lieu de 5 + 8, on avait choisi 21+ 34, on aurait obtenu est rectangle plus grand d'une unité que le carré. Cela correspond au fait que les rapports successifs formés à partir d'une suite additive sont alternativement supérieurs et inférieurs à Φ, tout en convergeant vers Φ.

En d'autres termes, même si la suite de Fibonacci n'est pas géométrique, son comportement en est proche : dés que n est " suffisamment grand ", on obtient une excellente approximation de U_n+1 en multipliant U_n par le nombre d'or.

Il existe cependant une suite (et une seule) qui fonctionne avec une exactitude absolue, celle qui est produite avec la section dorée, et qu'il convient par conséquent d'appeler suite d'or :

1, Φ, 1+Φ, 1+2Φ, 2+3Φ, 3+5Φ…

Si l'on construit un carré dont la longueur est égale à la somme de toute paire de nombre consécutifs de cette suite, le résultat sera parfaitement exact. Les surfaces du carré et du rectangle seront égales.

Puisque 1 + Φ = Φ², la suite d'or peut aussi s'écrire :
1, Φ, Φ², Φ³, Φ⁴, Φ⁵ …

C'est la seule suite positive réunissant les propriétés d'une suite additive et une suite géométrique. Il existe une suite négative correspondante qui a les mêmes propriétés. C'est une suite alternée, dont les termes sont alternativement positifs et négatifs:

1, Φ', 1+Φ', 1+2Φ', 2+3Φ', 3+5Φ',...

Comme Φ'² = Φ' + 1, on peut aussi l'écrire:

1, Φ', Φ'², Φ'³, Φ'⁴, Φ'⁵,...

Quelques remarques et propriétés